テイラー展開とその周辺
級数の収束全般の話はこちら⇒https://karate-odori.hatenablog.com/entry/2019/11/02/101144
テイラー展開導出までの過程で極限計算に便利ないくつかの定理が導出される。
ロルの定理
$f(x)$が$a \leq x \leq b$で連続、$a \le x \le b$で微分可能、$f(a)=f(b)$であるとき、$a \le c \le b$なるcで、$f'(c)=0$なるcが存在
平均値の定理
上記条件において、$a \le c \le b$なるcで、$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$なるcが存在
あるいは別の表現方法として、$c=a+\theta (b-a) \ (0 \le \theta \le 1), \ h = b - a$と置き換えて
$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)$なる$0 \le \theta \le 1$の$\theta$が存在
平均値の定理のひとつの拡張がコーシーの平均値の定理
コーシーの平均値の定理
上記条件において、$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$を満たす$a \le c \le b$なるcが存在
$g(x)=x$とすると平均値の定理になる。
また、$f(a)=g(a)=0$なる特別な条件のとき
$\frac{f(b)}{g(b)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$
bをxに置き換えると$a \le c \le x$で
$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$
特に、$x \rightarrow a$のとき$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$
これは、$x \rightarrow a$のとき極限が$\frac{0}{0}$の不定形なるものについて$\frac{f'(a)}{g'(a)}$を考えればよいことを言っている（ド・ロピタルの定理）
また、繰り返し微分することにも拡張できる。
例：$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{2x}=1/2$
さらに、これは極限が$\frac{\infty}{\infty}$の不定形にも拡張できる。
例：$\lim_{x \to \infty}\frac{\exp^x}{x}=\lim_{x \to \infty}\frac{\exp^x}{1}=\infty$
例：$\lim_{x \to \infty}\frac{\exp^x}{x^2}=\lim_{x \to \infty}\frac{\exp^x}{2x}=\infty$
例：$\lim_{x \to \infty}\frac{\exp^x}{x^n}=\lim_{x \to \infty}\frac{\exp^x}{1}=\infty$
⇒$e^x$はどんな正のべき乗よりも早く増加する
一方、
例：$\lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x^n}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{nx^n}=0$
⇒$\log x$はどんな正のべき乗よりもゆっくり増加する
テイラーの定理
$f(x)$が$a \leq x \leq b$でn階まで連続な導関数を持ち、$a \le x \le b$で$n+1$階微分可能ならば、
$f(b) = f(a) + f'(a)(b-a) + \frac{1}{2!}f''(a)(b-a)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(b-a)^n+\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)(b-a)^{(n+1)}$なる$c (a \le c \le b)$が存在
あるいは、$b=x, \ c=a+\theta (x-a) \ (0 \le \theta \le 1)$として関数として見た以下をテイラー展開という。
$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n+R_{n+1}$
ここで、$R_{n+1}$はべき乗展開した残りの項で、できるだけ多くのべき乗項をとると$R_{n+1}$は小さくなり、できるだけ少なくべき乗項をとると等号成立がのためには$R_{n+1}$は大きくなる。そこで、テイラー展開をn乗までではなく、級数としたものがテイラー級数である。
$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n+\cdots$
多変数関数の平均値の定理
$f(a+ht,b+kt)=F(t)$とすると（$a,b,h,k$を定数とする）、$F(t)$は一変数関数と見なせるので、一変数関数の平均値の定理より
$F(1)=F(0)+F'(\theta) \ \ (0 \le \theta \le 1)$
$F'(t)$について、$x=a+ht, \ y=b+kt$とおくと合成関数の微分より
$\frac{dF(t)}{dt}=f_x \frac{dx}{dt} + f_y \frac{dy}{dt} = hf_x(a+ht,b+kt)+kf_y(a+ht,b+kt)$であるから、$F'(\theta)=hf_x(a+h\theta,b+k\theta)+kf_y(a+h\theta,b+k\theta)$。以上から、関数$f(x,y)$が偏微分可能ならば、平均値の定理として、
$f(a+h,b+k)=f(a,b)+hf_x(a+h\theta,b+k\theta)+kf_y(a+h\theta,b+k\theta) \ \ (0 \le \theta \le 1)$
多変数関数のテイラーの定理
再び$F(t)$を一変数関数と見てテイラーの定理より
$F(t) = F(0) + F'(0)t + \cdots + 1/n!F^{(n)}(0)t^n + 1/(n+1)!F^{(n+1)}(\theta)t^{(n+1)}$なる$0 \le \theta \le 1$
$t=1$とすると
$F(1) = F(0) + F'(0) + \cdots + 1/n!F^{(n)}(0) + 1/(n+1)!F^{(n+1)}(\theta)$
ここで、$F'(0)=hf_x(a,b)+kf_y(a,b)=(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f(a,b)$
また、$F''(t)=\frac{d}{dt}(hf_x(x,y)+kf_y(x,y))=h^2f_{xx}(x,y)+2hkf_{xy}(x,y)+k^2f_{yy}(x,y)=(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^2f(x,y)$
以上から一般に$f(a+h,b+k)=f(a,b)+(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f(a,b)+\cdots+1/n!(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^nf(a,b)+1/(n+1)!(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^{(n+1)}f(a+\theta h,b+\theta k)$
