実数
最大と最小
空でない集合$S \subset \mathbb{R}$が与えられるとき、$\alpha \in \mathbb{R}$が
$\alpha \in S$および$a \leq \alpha \ \ for \ \forall a \in S$を満たすとき、$\alpha$はSの最大値（最大元）であるといい、$\alpha=maxS$と表す。
二番目の条件の不等号の向きを反対にした場合が最小元である。ひとことでいうとSに属する中で最も大きいものが最大元。
実数の部分集合の最大元と最小元はいつでも定義できるわけではない。これは不便なことが多いので、以下の上限と下限という概念を与える。
上界と下界／上限と下限
空でない集合$D \subset \mathbb{R}$に対して
$a \leq \lambda \ \ (\forall a \in S)$となる$\lambda \in \mathbb{R}$が存在するとき、Sは上に有界であるといい、$\lambda$をSの（１つの）上界という。上界であるとき、Sの上界の中で最小のものをSの上限と呼び、$\sup S$と表す。
不等式を逆にしたものが成立するとき、下に有界であるとし、その$\lambda$を（1つの）下界といい、下界の中で最小のものをSの下限といい、$\inf S$で表す。
集合Sが上にも下にも有界であるとき、Sは有界な集合であるという。実数列$\{a_n\}$も集合なので、これに対しても上限$\sup a_n$と下限$\inf a_n$が考えられる。
イメージ：Sの上限とはSに属するすべてのxよりも大きいもの、Sに属していなくてもよい 。Sについて最大元が存在するとき、$\max S=\sup S$であり、同様に最小元が存在するとき、$\min S = \inf S$である。この意味で上限や下限は最大元や最小元の拡張になっている。
上限や下限の存在は実数であることの本質的な性質である。それは以下の公理として表される。
