ベクトル空間の復習

数学 関数解析

ベクトル空間に関して（線形代数の復習）

実数体上のベクトル空間とは

ここでのベクトルとは数ベクトルに限らない。一般的にベクトル空間とは、その元についての和とスカラー倍の操作に対して閉じていて、その演算が特別なルールにしたがっているような集合である。
体とは有理数全体や実数全体のように四則演算が自由にできる数の集合を指す。

Xにおける線形演算：「Xの任意の2つのベクトルの加算」と「Xの任意のベクトルにRの元（スカラー）をかけるスカラー倍演算」が以下を満たすとき、集合XをR上のベクトル空間という。
1. 可換群の公理：任意の$\bf{x},\bf{y} \in X$に対して、和と呼ばれるもの$\bf{x}+\bf{y}$がXの元として存在し、任意の$\bf{x},\bf{y},\bf{z} \in X$に対して以下が成立。
1.1 結合則1　$(\bf{x}+\bf{y})+\bf{z} = \bf{x} + (\bf{y}+\bf{z})$
1.2 可換則　$\bf{x}+\bf{y} = \bf{y}+\bf{x}$
1.3 加法単位元の存在　すべての$\bf{x} \in X$に対して、$\bf{0}+\bf{x}=\bf{x}$となる共通の元$\bf{0} \in X$が存在
2. スカラー倍演算の公理：任意の$\alpha \in \mathbb{R}$と$\bf{x} \in X$に対してスカラー倍と呼ばれるもの$\alpha \bf{x}$がXの元として存在し、任意の$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$と$\bf{x},\bf{y} \in X$に対して以下が成立。
2.1 分配則1　$\alpha(\bf{x}+\bf{y})=\alpha\bf{x}+\alpha\bf{y}$
2.2 分配則2　$(\alpha+\beta)\bf{x}=\alpha\bf{x}+\beta\bf{x}$
2.3 結合則2　$\alpha(\beta \bf{x})=(\alpha\beta)\bf{x}$
2.4 スカラー倍演算の単位元の存在　すべての$\bf{x} \in X$に対して、$1\bf{x}=\bf{x}$となる元$1$が存在

線形写像・線形独立・部分空間・基底・次元

$\mathbb{R}$上の2つのベクトル空間X,Yに対して、写像$\Phi:X \to Y$が
\Phi(\alpha \boldsymbol{x}+\beta \boldsymbol{y})=\alpha \boldsymbol{x}+\beta \boldsymbol{y} \ \ (\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in X, \ \forall \alpha,\beta \n \mathbb{R})
を満たすとき、$\Phi$はXからYへの線形写像という。

  • 線形写像全体の集合を$\mathcal{L}(X,Y)$と表す。
  • 線形写像$\Phi:X \to Y$が全単射であるとき、XからYへの同型写像と呼び、XとYはベクトル空間として同型であるという（同型の意味合いは代数的性質が$\Phi$を関して翻訳され、同一視されること）。

$\mathbb{R}$上のベクトル空間Xから重複を許して選ばれた（有限個および無限個の）ベクトルの組をXの中のベクトル系といい、ベクトル系$\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}$に対して、
\displaystyle \sum_{i=1}^m \alpha_i \boldsymbol{x}_i=\alpha\boldsymbol{x}_1+\cdots+\alpha_m \boldsymbol{x}_m \ \ (\alpha_i \in \mathbb{R})
と表されるベクトル（ベクトル空間は和とスカラー倍に閉じているからこのベクトルはXに属する）を$\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}$の線形結合という。
また、
\displaystyle \sum_{i=1}^m \alpha_i \boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{0} \ \Leftrightarrow \alpha_1=\alpha_2=\cdots=0
のとき、ベクトル系$\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}$を（有限個の）線形独立という。
ベクトル空間Xに無限個のベクトルがある場合には、無限個のベクトルからなるベクトル系$\{\boldsymbol{x}_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$が与えられ、相違なるどんな有限個の$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n \in \Lambda$に対しても、ベクトル系$\{\boldsymbol{x}_{\lambda_i}\}_{i=1}^n$が線形独立になるとき、$\{\boldsymbol{x}_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$は線形独立であるという

$\mathbb{R}$上のベクトル空間Xの部分集合MがXで定義される加算とスカラー倍のもとでそれ自身$\mathbb{R}$上のベクトル空間になる（和とスカラー倍に対して閉じている）とき、MはXの部分空間という。
$\mathbb{R}$上のベクトル空間Xのベクトル系Sに対して、Sに属する任意の有限個のベクトルのあらゆる線形結合全体の集合を
\displaystye span(S):= \sum_{i=1}^n \alpha_i \boldsymbol{x}_i | \alpha_i \in \mathbb{R}, \ \boldsymbol{x}_i \in S, \ n \in \mathbb{N}
とすると、明らかにXの部分空間となる。これをSによって生成される空間という。
ベクトル空間Xに対して、Xの中の線形独立なベクトルの極大系をXの基底といい、基底がm$(< \infty)$個のベクトルからなるとき、Xはm次元であるという。一方、いかなる正整数kに対してもXの中からkこの線形独立なベクトルが取り出せるとき、Xは無限次元であるという。Xが有限次元で、基底$\mathcal{B}=\{\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}$であれば、任意の$\boldsymbol{x}=\alpha_1\boldsymbol{x}_1+\cdots+\alpha_m\boldsymbol{x}_m$の形に表される（ベクトル空間は和とスカラー倍に閉じていて、線形独立であれば空間がつぶれないというイメージ）。

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