関数値の収束

関数値の収束

関数の収束ではない。関数の独立変数の極限操作を考えたときの、対応する関数値の収束を考える。
関数値がある値に収束することを示すのには、関数値がある値に近くなるときに、対応する独立変数が存在するということを示す（独立変数で関数値の極限の存在を保証する）。これは関数の連続性や微分可能性を考えるときに必要になってくる。変数には実数列や点列のように順番を表す離散的なインデックスがないので「変数がある値に限りなく近づく」ことを明確に定義しておく必要がある。これは後で関数解析の距離空間における収束の項で一般化する。

定義

$\forall \epsilon \ge 0$に対して、$0 \le |x-a| \le \delta$ならば、$|f(x) - b| \le \epsilon$になるような$\delta$が存在する。

関数値の収束