確率変数の同値な列／確率変数の打ち切り

数学 漸近理論 確率論


確率変数の同値な列の性質

ボレル＝カンテリの補題（https://karate-odori.hatenablog.com/entry/2019/10/09/010723）より同値な列に関する以下の性質が導ける。

$\{X_n\}$,$\{X_n*\}$をそれぞれ確率変数列とし、\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}P[X_n \neq X_n*] \le \inftyが成り立つとき（確率変数の同値な列という）以下が成立する。

1. 確率変数が等しくならないような集合の極限の確率は0
$P[X_n \neq X_n*, i.o.] = 0]$、つまり、次のような確率０の集合Nが存在する；$\omega \in \Omega - N$で$n \geq n_0(\omega) \rightarrow X_n(\omega) = X_n*(\omega)$なる整数$n_0(\omega)$が存在

2. 同値な確率変数が確率1で収束するならもう一方の確率変数も確率1で収束する
$P[\lim_{n\to\infty}X_n* = X]=1 \rightarrow P[\lim_{n\to\infty}X_n=X]=1$

3. 同値な確率変数列の差分列の和が確率1で収束
$P[\sum_{n}(X_n - X_n*)が収束する]=1$

4. 同値な確率変数列の差分列の和を単調増加定数列で除したものが確率1で0に収束
$\{b_n\}$を$n\to\infty$ならば、$b_n \upuparrows \infty$なる定数列とすると、
\displaystyle P[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^n (X_k-X_k*)=0]=1
5. 同値な確率変数列の和が確率1で収束することと、もう一方の確率変数列の和が確率1で収束することは同値。また、それは単調増加定数列で除した列に関しても同様。
$P[\sum_n X_nが収束する]=1 \Leftrightarrow P[\sum_n X_n*が収束する]=1$
$\{b_n\}$を$n\to\infty$ならば、$b_n \upuparrows \infty$なる定数列とすると、
\displaystyle P[\{\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^n X_k \}が収束する]=1 \Leftrightarrow P[\{\frac{1}{b_n} \sum_{k=1}^n X_k* \}が収束する]=1

証明

1.に関して
$A_n=\{\omega:X_n(\omega) \neq X_n*(\omega) \}$とおくと、ボレル＝カンテリの補題より成立。このとき集合の極限の性質より（https://karate-odori.hatenablog.com/entry/2019/10/08/232851）、$P(\lim_{n\to\infty}\inf A_n)=0$より、$P((\lim_{n\to\infty}A_n)^c)=\lim_{n\to\infty}\inf A_n^c=1$であり、$A_n^c=\{\omega:X_n(\omega) = X_n*(\omega) \}$で、$\omega \in \lim_{n\to\infty}\inf A_n \Leftrightarrow すべてのk \geq n_0(\omega)で\omega \in A_kなるn_0(\omega)が存在する$より、示せる。

確率変数の打ち切り

定義

以下のように定義された確率変数$X^c$を確率変数Xのcでの打ち切りという。
X^c = XI_{|X| \le c} = \left \{ \begin{array}{l} X \ \ |X| \le c \\ 0 \ \ |X| \geq c \end{array} \right.

（$I_A$は事象Aの定義関数）

説明

定義より$X^c$は有界であり、以下に示すように$X^c$の積率は存在し、有界である；
$E[(X^c)^k]=\int_{[|x| \le c]}x^k dP \le c^k \le \infty$
また、定義より$P[X \neq X^c] = P[|X| \geq c]$
よって、$\sum_n P[|X_n| \geq c_n] \le \infty$となるように、$c_n$を選べば、$\{X_n\}$と$\{X_n^{c_n}\}$は確率変数の同値な列であり、$\{X_n^{c_n}\}$の収束を調べることで、$\{X_n\}$の収束に関して知ることができる。
例えば、$P[X_n \neq X_n^{c_n}] \leq \frac{\epsilon}{2^n}$とすると、両辺の和をとって、$\sum_{n=1}^{\infty}P[|X_n|\geq c_n] \leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\epsilon}{2^n} = \epsilon$より同値な列を作れる。