確率分布関数

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$(\Omega,\mathcal{F},P)$上における確率変数Xに対して、$P_X(B) = P(X^{-1}(B)), B \in \mathcal{B}$によって、$\mathcal{B}$上の確率$P_X$が定義され、確率空間$(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)$が誘導された（https://karate-odori.hatenablog.com/entry/2019/10/12/230956）。この確率は$\mathcal{B}$上の集合関数であるが、これを$\mathcal{R}$上の関数として分布（＝確率分布）を考察したいときは、分布関数を考える。

定義：分布関数

$(\Omega,\mathcal{F},P)$上の確率変数Xについて、$F_X(x) = P_X((-\infty,x]) = P(X \leq x), \ x \in \mathbb{R}$によって定義される$\mathbb{R}$上の実数値関数$F_X$をXの（確率）分布関数といい、$X \sim F_X$と表す。

分布関数の性質

1. $F_X$は単調増加関数である。

($\because$)確率の単調性より、
$F_X(a) = P_X*1$、ここで$\lim_{n\to\infty}(-\infty,x_n) = \bigcap_{i=1}^{\infty}(-\infty,x_n]} = (-\infty,x_0]$
よって、$F_X(x_0+0) = P_X((-\infty,x_0])=F_X(x_0)$

3. F_X(-\infty) = \lim_{x_n\to -\infty} F_X(x_n) = 0, F_X(\infty) = \lim_{x_n\to\infty}F_X(x_n) = 1

*1:-\infty,a]) \leq P_X((-\infty,b]) = F_X(b)$ 2. $F_X$は右連続である。すなわち、任意の$x_0 \in \mathbb{R}, \ \{ x_n | x_1 \leq x_2 \leq \cdots, \lim_{n\to\infty}x_n = x_0 \}$に対して、$F_X(x_0 + 0) = \lim_{n\to\infty} F_X(x_n) = F_X(x_0)$ ($\because$)上極限の性質（https://karate-odori.hatenablog.com/entry/2019/10/08/232851）より$F_X(x_0 + 0) = \lim_{n\to\infty} P_X((-\infty,x_n]) = P_X(\lim_{n\to\infty}(-\infty,x_n