集合列の極限

---

実数列の極限（https://karate-odori.hatenablog.com/entry/2019/09/23/212652）で考えたことを集合列に対しても考える。ここでは実数の大小関係が集合（事象）の包含関係に対応する。

極限集合

集合の極限のようなものを考えたい。そこで、それを無限回の集合演算という形で定義する。
$(\Omega,\mathcal{F},P)$を確率空間とし、事象の列$\{A_n\}, A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{F}$を考える。

増加列

$A_1 \subset A_2 \subset \cdots$

増加列の極限

$\lim_{n\to\infty} A_n \equiv \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$

減少列

$A_1 \supset A_2 \supset \cdots$

減少列の極限

$\lim_{n\to\infty} A_n \equiv \bigcap_{k=1}^{\infty}A_k$

説明

集合の極限のようなものを考えるために、無限回の集合演算で定義する。増加列に対しては無限回の和集合で、減少列に対しては無限回の積集合で定義する。ごく自然な定義である。

補足

事象列$\{A_n\}$が増加列または減少列であるとき、単調列という

---

上極限と下極限

実数列の収束のとき（https://karate-odori.hatenablog.com/entry/2019/09/23/212652）と同じように上極限と下極限を考える。実数列では$\sup_{k\geq n}$と$\inf_{k\geq n}$のn無限大の極限を考えていたのに対し、集合列ではそれぞれ$\bigcup_{k=n}^\infty$と$\bigcap_{k=n}^\infty$のn無限大の極限を考える（実数列の大小関係$\Leftrightarrow$集合列の包含関係）。ただし、集合のn無限大の極限を考えるので、増加列または減少列に応じて無限回の集合演算で定義する必要がある。

定義

$\lim_{n\to\infty}\sup A_n = \overline{\lim_{n\to\infty}}A_n \equiv \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$
$\lim_{n\to\infty}\inf A_n = \underline{\lim_{n\to\infty}}A_n \equiv \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k$

補足

$\bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$はnに関して減少列であり、$\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k$はnに関して増加列であるので、これは極限操作が定義されている。実数列の極限における$\sup$に対応して$\bigcup_{k=n}^\infty$（これも集合列）,$\inf$に対応して$\bigcap_{k=n}^\infty$（これも集合列）の極限のようなものを考えていると解釈すればよい。より具体的には$\lim_{n\to\infty}\sup A_n$は、無限に多くの$A_n$に含まれる要素の全体からなる集合で、$\lim_{n\to\infty}\inf A_n$は無限に多くの（＝有限個を除いてほかのすべての）$A_n$に含まれる要素の集合である。

集合列の上極限および下極限は以下のように言い換えることもできる。

$\bigcup_{k=n}^{\infty} A_k=B_n$とすると、$\omega \in \lim_{n\to\infty}\sup A_n \Leftrightarrow すべてのnで\omega \in B_n \Leftrightarrow すべてのnについて、あるk \geq nが存在して\omega \in A_k$である。$A_k$の和集合に属するのだから、どっかの$A_k$には属するというわけである。$\bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$は無限回の和集合で$\bigcap_{n=1}^{\infty}$は単にその極限を考える操作と解釈できるので、これは$A_k$が無限回起こるような事象を表していると考えることができる。そこで、$\lim_{n\to\infty}\sup A_n = \{A_n, i.o.\}$とかくこともある（infinitely often、無限に多く起こることを表している）。

一方、$\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k=C_n$とすると、$\omega \in \lim_{n\to\infty}\inf A_n \Leftrightarrow すべてのn \geq n_0(\omega)で\omega \in C_nなるn_0(\omega)が存在 \Leftrightarrow すべてのk \geq n_0(\omega)で\omega \in A_kなるn_0(\omega)$が存在。$A_k$の積集合に属するのだから、すべての$A_k$に属するというわけである。

極限

$\lim_{n\to\infty}\sup A_n =\lim_{n\to\infty}\inf A_n = A$であるとき、Aを事象列$\{A_n\}$の極限といい、$\lim_{n\to\infty}A_n$と書く。

事象列の極限の性質

1. 事象列の上極限は下極限を常に含む

$\lim_{n\to\infty}\sup A_n \supset \lim_{n\to\infty}\inf A_n$

2. 上極限の補集合と補集合の上極限、下極限の補集合と補集合の下極限は等しい

$(\lim_{n\to\infty}\sup A_n)^c = \lim_{n\to\infty}\sup A_n^c, \ (\lim_{n\to\infty}\inf A_n)^c = \lim_{n\to\infty}\inf A_n^c$

3. 確率の連続性

4. 単調列であるとき極限が存在する

$\{A_n\}$が増加列または減少列であるとき、$\lim_{n\to\infty}\inf A_n = \lim_{n\to\infty}\sup A_n = \lim_{n\to\infty}A_n$

例

$A_n = \{ \omega : 0 \le \omega \le 3+(-1)^n/n \}$とすると、
\begin{equation}
B_n= \bigcup_{k=n}^{\infty}A_k = \left \{
\begin{array}{l}
\{ \omega : 0 \le \omega \le 3+1/n \}　(nが偶数のとき) \\
\{ \omega : 0 \le \omega \le 3+1/(n+1) \}　(nが奇数のとき)
\end{array}
\right \}
\end{equation}
であるから、$\lim_{n\to\infty} \sup A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}B_n = \{0 \le \omega \leq 3\}$
一方、
\begin{equation}
C_n= \bigcap_{k=n}^{\infty}A_k = \left \{
\begin{array}{l}
\{ \omega : 0 \le \omega \le 3-1/(n+1) \}　(nが偶数のとき) \\
\{ \omega : 0 \le \omega \le 3-1/n \}　(nが奇数のとき)
\end{array}
\right \}
\end{equation}
であるから、$\lim_{n\to\infty} \inf A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}C_n = \{0 \le \omega \le 3\}$
したがって、$\lim_{n\to\infty} \sup A_n \neq \lim_{n\to\infty} \inf A_n$より$\lim_{n\to\infty} A_n$は存在しない。