便利な不等式

数学 漸近理論


定理

1. 確率変数の和の確率の上界

すべての$\epsilon \ge 0$に対して
$P[|X+Y| \geq \epsilon] \leq P[|X| \geq \epsilon/2] + P[|Y| \geq \epsilon/2]$

2. 確率変数の和のモーメントの上界（$c_r-不等式$）

$E(|X+Y|^r) \leq c_rE(|X|^r) + c_rE(|Y|^r)$
ここで、
c_r = \left \{ \begin{array}{l} 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \leq r \leq 1 \\ 2^{r-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r \ge 1 \end{array} \right.

3. 確率変数の差の確率からのそれぞれの分布関数を用いた不等式

確率変数XとYの分布関数をそれぞれFとGとすると、$\epsilon \ge 0, \delta \ge 0$なる定数について、
$P(|X-Y|\le \epsilon) \geq 1-\delta \Rightarrow |F(c)-G(c)| \leq |F(c+\epsilon)-F(c-\epsilon)| + \delta$

4.

Xを確率変数とすると、
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}P(|X| \geq n) \leq E(|X|) \leq 1+\sum_{n=1}^{\infty}P(|X|\geq n)

証明

とりあえず略