関数の連続性
関数の連続性は関数値の極限の応用である。
定義
$\forall \epsilon \ge 0$に対して、$|x-a| \le \delta$であるすべての$x$について、$|f(x) - f(a)| \le \epsilon$が成立
説明
平たく言うと、次の3つの性質が成立するとき、$y=f(x)$は$x=a$で連続という。
1．$f(a)$が定義されている
2．$\lim_{n\to a}f(x)$が存在する
3．$\lim_{n\to a}f(x) = f(a)$
注意
関数値の収束では、$f(a)$の存在は仮定されていなかったことに注意。
例
1. $f(x) = \frac{1}{x-2}$の$x=2$での連続
f(2)が定義されていないので、不連続である。また、$\lim_{n\to 2}f(x)$も存在しないので、この点からも不連続である。
2. $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$の$x=2$での連続性
$f(2)$が存在しないので、やはり不連続である。しかし、もし$f(2) = 4$と定義されていれば、$\lim_{n\to 2}f(x)= 4 = f(2)$なので、連続となる。
